Иоганн Кеплер

Законы движения планет, выведенные Иоганном Кеплером, сокрушили тысячелетние догмы о кругах и сферах и открыли дорогу физическому пониманию небесных явлений. История открытия этих законов, потребовавшая от учёного многих лет напряжённого труда, полна драматизма. Она дошла до нас из первых рук: в своих книгах Кеплер подробно рассказал обо всех перипетиях работы. Во вступлении к книге «Новая астрономия» он писал: «Для меня важно не просто сообщить читателю, что я должен сказать, но прежде всего ознакомить его с доводами, оговорками, счастливо преодоленными опасностями, которые привели меня к открытиям. Когда Христофор Колумб, Магеллан и португальцы, из которых первый открыл Америку, второй — Китайский океан, а последние — морской путь вокруг Африки, повествуют, как они сбивались с пути и блуждали в своих путешествиях, мы не только прощаем им это, но, более того, мы не желаем пропускать этих рассказов, т. к. тогда при чтении было бы потеряно впечатление о всём значительном в их предприятиях. Пусть же поэтому мне не поставят в вину, когда я, вызывая у читателя интерес, пойду подобным путём в своём изложении».

ДЕТСТВО И ГОДЫ УЧЕНИЯ

Иоганн Кеплер родился 27 декабря 1571 г. в Германии в небольшом городке Вейль-дер-Штадт, в бедной протестантской семье. Его отец стремился завести своё дело, но всякий раз неудачно. Семья часто переезжала из города в город. Мать Кеплера была неграмотной, но знала толк в целебных травах, собирала их и лечила ближних настоями. Она была сварливой и часто ссорилась с мужем, у которого тоже был тяжёлый характер. Первые годы жизни Ганса прошли в обстановке ссор и скандалов. Он родился семимесячным и был очень слабым ребёнком. В 1575 г. Ганс заразился оспой и чуть не умер. У него были больные печень и желудок, часто болела голова. Кроме того, он имел врождённые недостатки зрения — сильную близорукость и дефект, при котором один объект кажется множественным (глядя на Луну, Кеплер видел несколько Лун). Болезни преследовали его всю жизнь. Тем более достойны уважения его мужество и сила духа, благодаря которым он смог добиться поразительных научных успехов и стать одним из творцов современной астрономии и физики.
Из своего детства Кеплер запомнил два ярких события. В возрасте шести лет он впервые увидел комету: «Я много слышал о комете до этого, 1577 г., и мать вывела меня на возвышенность, чтобы я поглядел на неё». В девять лет «родители позвали меня на улицу, чтобы показать затмение Луны. Она казалась совсем красной». Комету 1577 г. наблюдал и описал датский астроном Тихо Браге, к которому Кеплер впоследствии приехал работать над теорией движения планет.
В 1584 г. Кеплер поступил в церковную семинарию в Адельсберге, затем продолжил учёбу в духовном училище при Маульбронском монастыре. Он изучал богословие, труды Аристотеля, философов Древнего Рима и Древней Греции, риторику, математику и музыку. Устав семинарии был строг: зимой занятия начинались в пять, а летом — в четыре часа утра. Кеплер был прилежным учеником, много заучивал наизусть. Натренированная память помогла ему в дальнейшем при анализе астрономических наблюдений Тихо Браге. Кеплер получил степень бакалавра словесных наук и в 1589 г. поступил в Тюбингенскую семинарию, а ещё через два года — в Тюбингенскую академию. Здесь он слушал лекции по математике, астрономии, греческому и древнееврейскому языкам, риторике, поэзии, этике и философии Аристотеля.
Ещё студентом Кеплер купил книгу Юлия Скалигера «Экзотерические упражнения» (1557 г.). Эта книга произвела на него большое впечатление. Позднее он вспоминал, что Скалигер пробудил в нём «размышления о всевозможных вопросах: о небе, о душах и духах, о стихиях, о природе огня, о происхождении источников, о морских приливах и отливах, о виде материков и окружающих их морей…».
Лекции по математике и астрономии читал профессор Михаэль Мёстлин (1550-1630). Подчиняясь учебной профамме, он излагал астрономию Птолемея. Скоро он заметил необычайные способности Кеплера к математике и астрономии и ввёл его в круг немногих студентов, для которых частным образом читал лекции по астрономии Коперника. Позже Кеплер писал: «Уже к тому времени, когда я внимательно следовал в Тюбингене преподаванию знаменитого Мёстлина, я ощутил, насколько несовершенно со многих точек зрения употребительное до сих пор представление о строении мира. Поэтому я был так сильно восхищён Коперником… что не только защищал его взгляды в студенческих диспутах, но и сам тщательно подготовил диспут на тему о том, что… вращение сферы неподвижных звёзд проистекает от вращения Земли… Постепенно я собирал отчасти из лекций Мёстлина, отчасти из собственных соображений все доводы, которыми Коперник превосходил Птолемея с математической точки зрения».
Во время учёбы на факультете искусств Кеплер заинтересовался астрологией, которая была очень популярной. В ту эпоху с помощью астрологии объясняли многие взаимосвязи между явлениями. Среди студентов Кеплер слыл большим мастером в составлении гороскопов.
Кеплер защитил магистерскую диссертацию и в 1593 г. блестяще закончил академию. Мёстлин рекомендовал его на должность профессора математики и «нравственной философии» в гимназию города Граца в Штирии. Там помимо основных обязанностей Кеплер читал курс астрономии и писал «Космографическую тайну». Именно это сочинение обратило на себя внимание Тихо Браге. Великий наблюдатель неба позвал к себе в Прагу подававшего надежды теоретика и вычислителя.

ЗАДАЧА И ЗАДАНИЕ

В 1600 г. Кеплер приехал в Прагу и стал помощником знаменитого датского астронома Тихо Браге. Незадолго до того Тихо был вынужден оставить свою лучшую в мире обсерваторию на острове Вен и перебраться в Прагу под покровительство императора Рудольфа II. Браге привёз с собой часть инструментов и бесценный архив — результаты наблюдений светил, которые он вместе с сотрудниками проводил в течение 20 лет. Их надо было обработать и довести до астрономических таблиц, которые Браге уже обещал императору назвать «Рудольфовыми». Среди прочего таблицы должны были содержать расчёт положений планет на много лет вперёд.
Дело было не только в том, чтобы положить в основу расчёта новые, более точные исходные данные. Вызывали сомнения и сами теории, на которых до тех пор были основаны расчёты. Астрономы короля Кастилии и Леона Альфонса Х Мудрого в XIII в. использовали теорию Птолемея. Региомонтан в XV в. рассчитывал свои «Эфемериды» также по ней. Рейн-гольд составил «Прусские таблицы», опираясь на теорию Коперника. Браге же хотел, чтобы новые таблицы строились на его компромиссной системе. Кеплер, убеждённый коперниканец, тем не менее видел недостатки всех существующих систем. Отчасти потому он и пришёл к Браге, чтобы на его материале построить новую теорию, принципы которой, как казалось Кеплеру, он уже нащупал.
Однако по своему положению он не мог делать всё, что хотелось бы: ему было поручено заниматься Марсом. Когда Тихо Браге скоропостижно скончался, Кеплер получил титул Первого математика императора. Но задание, фактически завещанное ему Браге, осталось. «Я думаю, — пишет Кеплер, — что это было актом божественного провидения. Только Марс предоставлял нам возможность проникнуть в тайны астрономии, которые иначе остались бы навсегда скрыты от нас». Марс действительно был лучшим объектом исследования — его орбита в отличие от земной имеет заметный эксцентриситет, период обращения по сравнению с Юпитером и Сатурном не слишком велик, а условия наблюдения гораздо лучше, чем для Меркурия и Венеры.

НОВЫЙ ВЗГЛЯД И ПЕРВАЯ АТАКА

Птолемей, чтобы «узаконить» неравномерное движение светила по орбите, ввёл движение по экванту, т. с. эксцентричной орбите. Внутри неё есть точка, не совпадающая с центром, при взгляде из которой неравномерное движение светила кажется равномерным. Именно экванты побудили Коперника подвергнуть Птолемееву систему ревизии, сохранив простые круговые движения.
Кеплер вернулся к эквантам, к неравномерному движению Земли и планет. Он сделал это из физических соображений. Солнце для Кеплера было не только центром мира, но и его движущей силой. Он считал, что, вращаясь, Солнце подгоняет планеты, и они движутся тем быстрее, чем ближе к нему подходят, так как там оно сильнее воздействует на них. Поэтому он взял направление, противоположное Копернику. Кеплер изгнал из своей системы эпициклы, часть которых пришлось сохранить Копернику, но оставил экванты и допустил неравномерность движений небесных тел.
Это была революция, причём не только в теории небесных движений. Кеплер объявил планеты «шарами», подобными Земле (а до первых телескопических наблюдений оставалось ещё десять лет). В то время единственным небесным телом, имевшим, по-видимому, земную природу, могла казаться Луна, но учёный, считая планетную систему единым целым, распространил это и на другие планеты.
Так из хитроумной математической конструкции планетная система постепенно превращалась в стройное материальное образование. С такими мыслями Кеплер взялся за разработку теории движения Марса. Требовалось найти радиус его орбиты, смещение её центра относительно Солнца, направление, в котором она смещена, и, наконец, точку экванта.
Сперва Кеплер решил дополнительную задачу — определил наклон орбиты Марса к плоскости эклиптики. Отклонение планеты по широте вызывало у астрономов много трудностей. Кеплер, исходя из физических соображений, посчитал, что плоскость орбиты Марса обязана проходить через центр Солнца, и не ошибся. Он вычислил, что орбита Марса наклонена по отношению к орбите Земли на Г50′, и получил хорошее согласование с результатами наблюдений. Потом он выбрал из имевшихся данных о восьми противостояниях Марса четыре, с 1587 по 1595 г., когда планета по отношению к Земле находилась напротив Солнца. По ним Кеплер и стал строить орбиту Марса. Математический аппарат того времени не давал способов решения подобных задач, и учёному пришлось воспользоваться методом подбора. Он задавал определённые параметры, потом подставлял в них данные наблюдений, добиваясь, чтобы они сошлись с теорией. Для решения ему потребовалось повторить процедуру «подгонки» 70 раз, проделывая в каждом случае огромную вычислительную работу. Наконец, через год решение было получено.
В конце 18-й главы «Новой астрономии» Кеплер пишет: «Ты видишь теперь, о прилежный читатель, что гипотеза, основанная на этом методе, не только удовлетворяет четырём исходным положениям, но с точностью до 2 минут дуги согласуется со всеми другими наблюдениями (противостояний)». Глава заканчивается словами: «Так я установил, что положения противостояний были получены в результате этого вычисления с той же самой точностью, что на Тиховом секстанте…».

ВОСЕМЬ УГЛОВЫХ МИНУТ

Однако уже следующая глава поражала читателя фразами: «Как же это может быть? Гипотеза, которая согласуется с наблюдениями противостояний, всё же ошибочна». Оказалось, что при проверке других промежуточных положений планеты расхождения с данными наблюдений достигли 8′. Всего четверть диска Луны — такая ошибка любому астроному недавнего прошлого показалась бы несущественной. «Нам же, — отмечает Кеплер, — благодаря милосердию Божию дан в лице Тихо Браге такой добросовестный наблюдатель, что в его наблюдениях ошибка в 8 минут, характерная для Птолемеева наблюдения, попадается лишь для того, чтобы мы с благодарностью оценили эту милость и воспользовались ею. Наконец, это затруднение даёт нам возможность найти истинный вид небесных движений… Таким образом, эти 8 минут указали путь к обновлению всей астрономии, они явились материалом для большей части этой работы». И дальше: «Здание, которое мы возвели на фундаменте наблюдений Тихо, мы снова разрушили… Это было нам наказанием за следование таким правдоподобным, но в действительности ложным аксиомам великих авторитетов прошлого».
Первое поражение, за которым последовали и другие неудачи, дало Кеплеру повод рассматривать свою работу как сражение с коварным противником, богом войны Марсом. В шутливом посвящении своей книги императору Кеплер пишет: «Тщетно астрономы обдумывали план битвы, тщетно пускали в ход свои военные средства и выводили в бой свои лучшие войска… Марс смеялся над их ухищрениями, расстраивал их замыслы и безжалостно разрушал их надежды. Он продолжал спокойно сидеть в укреплениях своих таинственных владений, мудро скрывая все пути к ним от разведок неприятеля».
Итак, Кеплер пришёл к выводу, что найденная им схема — эквант — не отвечает действительности. Существовал и другой возможный источник ошибки — влияние неверно описанной орбиты Земли, с которой велись наблюдения. Ведь неравномерное движение планеты могло отразиться на их результатах. Поэтому учёный решил на время «снять осаду» с Марса и заняться Землёй.

ОРБИТА ЗЕМЛИ И ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ

Требовалось уточнить характер движения Земли и её орбиту. Но как это сделать, на что можно опереться в пространстве, заполненном движущимися телами? Чтобы найти в нём последовательные положения Земли, нужны по крайней мере две неподвижные точки. Тогда, измеряя угол, под которым они видны, можно строить треугольники и вычислять местонахождение наблюдателя, а значит, и Земли. Роль одной такой точки могло играть Солнце, но другой не было. Звёзды не в счёт: они так далеко, что не дают заметного параллакса.
Казалось бы, положение безвыходное, но неутомимый в поисках Кеплер находит выход. Он обнаруживает в пространстве неподвижную относительно Солнца и звёзд точку, не слишком удалённую от Земли, мало того — такую, координаты которой многократно измерены. И эта точка — Марс. Как же так, ведь он движется! Да, но его движение известно. Давно установлено, что по отношению к звёздам он совершает один оборот за 687 земных суток. Это значит, что если взять за начало отсчёта какое-то положение Марса, то через 687 дней он туда вернётся. Но Земля в это время займёт по отношению к нему совсем другое место. Осталось выбрать из наблюдений Браге такие, для которых Марс как бы стоит на месте.
Эта блестящая мысль позволила Кеплеру уточнить орбиту Земли и скорость планеты на разных участках орбиты. (В то время учёный считал все планетные орбиты круговыми, — впрочем, для Земли это недалеко от истины.) Требовалось найти закон, по которому меняется скорость Земли. Исходя из гипотезы о притяжении планеты к Солнцу, Кеплер предположил, что скорость должна быть обратно пропорциональна расстоянию от Земли до Солнца. Для перигелия (точки, ближайшей к Солнцу) и афелия (самой дальней точки) предположение подтвердилось. Тогда Кеплер разбил орбиту на 360 частей и стал проверять гипотезу для различных её участков.
Вскоре из чертежа стало ясно, что за равные промежутки времени планета проходит равные площади секторов орбиты. Действительно, произведение скорости планеты (а следовательно, пройденного ею за небольшое время пути) на расстояние до Солнца всегда постоянно.
Вероятно, так в начале 1602 г. было открыто соотношение между скоростью планеты и характеристиками её орбиты. Современная формулировка этой зависимости, позже получившей название второго закона Кеплера (открытого раньше первого) звучит следующим образом: «Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает (заметает) равные площади». Закон говорит о радиус-векторах, потому что на разных направлениях от Солнца эти радиусы различной длины. С физической точки зрения он является следствием сохранения момента количества движения планеты.

ОСАДА. ПЕРВЫЙ ЗАКОН

Зная для ряда моментов времени положения Солнца и Земли в пространстве, Кеплер смог вычислить и положения Марса. И тут его ждала неожиданность — орбита не желала вписываться в круг. Так рухнула ещё одна догма. «Вывод очень прост, — писал Кеплер, — путь планеты не окружность, он то вгибается внутрь, то выгибается наружу. Такая кривая называется овалом. Итак, орбита планеты не окружность, а овальная фигура».
Три года учёный потратил на поиски формы орбиты Марса. Правда, они были посвящены не только астрономическим расчётам. Кроме них Кеплер занялся оптикой. В те годы (накануне появления телескопа) он уже чувствовал, какое значение для астрономии может иметь оптика. С помощью линзы он наблюдал Луну в тёмном помещении, получив на экране её чёткое изображение размером с крупную монету. Свои мысли, опыты и схемы хода лучей Кеплер изложил в книге «Комментарии к Вителию», вышедшей в 1604 г.
Поиски формы орбиты Марса продолжались. Учёный вынужден был пользоваться всё тем же методом подбора. Он вычислял и вычислял, однако совпадений не оказывалось. Сперва был отброшен овал — кривая, составленная из четырёх дуг окружности. Около года Кеплер возился с «овоидом» — фигурой, имеющей форму яйца. Наконец, учёный пришёл к выводу: «Правда лежит между кругом и овалом, как будто орбита Марса есть точный эллипс». Но и эллипс не подходил, пока Кеплер не расположил Солнце в его фокусе. Тогда, в начале 1605 г., всё сошлось и стало на свои места. На эллипс легли все точки орбиты, вычисленные из наблюдений, сходилась она и с законом площадей.
Это сделанное с таким трудом замечательное открытие получило название первого закона Кеплера, который теперь формулируется так: «Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце». Эллипс — это пропорционально сжатая окружность. Когда мы смотрим на круглый предмет сбоку, он тоже выглядит как эллипс: окружность — это лишь частный случай эллипса.
Роль центров в эллипсе выполняют два фокуса. Солнце лежит в одном из них. Эллипсы планетных орбит близки к окружностям.

ФИЗИКА

Только в 1609 г. с большими мучениями Кеплеру удалось опубликовать свой труд. В Гейдельберге была напечатана книга «Новая астрономия, причинно обусловленная, или физика неба, изложенная в исследованиях о движении звезды Марс, по наблюдениям благороднейшего мужа Тихо Браге» — за год до появления «Звёздного вестника» Галилея, в котором тот описывал первые в истории телескопические наблюдения.
Слова «новая астрономия» и «физика неба» в заглавии не были пустым звуком. Кеплер стремился перейти от чисто математической модели к физической картине мира. Отчасти на ней ещё лежала тень аристотелевской механики, но всё же это был огромный шаг вперёд. У Аристотеля между Землёй и «надлунным миром» располагалась бездна. Небеса были сделаны из особого вещества — эфира — и подчинялись своим законам. Звёздная сфера обладала «перводвижением», которое нисходило по другим заключённым в ней сферам от Сатурна к Луне. Сферы были твёрдыми, прозрачными, сперва считались простыми, позже превратились в сложный механизм со смещёнными центрами и выемками для малых сфер-эпициклов.
У Кеплера перводвигателем служило Солнце. Оно вращалось и своим «силовым полем» увлекало планеты, которые, как наша планета и Луна, имели земную природу. Кроме того, небесные тела тяготели друг к другу. Позже, в книге «Гармония Мира», он писал: «Гравитацию я определяю как силу, подобную магнетизму — взаимному притяжению. Сила тем больше, чем оба тела ближе друг к другу…». В отличие от магнитной эта сила действовала на все вещества. С её помощью Кеплер впервые объяснил природу приливов.
Очевидно, Кеплер, признавая Солнце перводвигателем, вслед за Аристотелем считал, что движение прекращается с исчезновением силы. Положение это, много столетий тормозившее развитие динамики, было опровергнуто Галилеем лишь в 1632 г. Однако в своей теории Кеплер придал телам способность сопротивляться силе, названной им латинским словом «инерция» (лат. inertia — «неподвижность», «бездеятельность»). Это понятие, которое впоследствии стало важнейшим в механике, позволило ему объяснить эллиптичность планетных орбит.
Кеплер и Галилей не были лично знакомы, но ценили друг друга и некоторое время переписывались. Потом переписка прервалась. Слишком уж разными по характеру оказались учёные. Кеплер обладал буйной фантазией и аналитическим умом, склонным к поискам математических закономерностей. У Галилея преобладал образный, но трезвый взгляд на вещи. Ему трудно было пробираться сквозь эмоциональные, многословные рассуждения Кеплера, и он не замечал открытых им законов движения светил. В конце жизни Галилей писал: «Я всегда ценил Кеплера за свободный (пожалуй, даже слишком) и острый ум, но мой метод мышления отличен от его, и это имеет место в наших работах об общих предметах. Только в отношении движения небесных тел мы иногда сближались в некоторых схожих, хотя и немногих концепциях… но этого нельзя обнаружить и в одном проценте моих мыслей».

ТРЕТИЙ ЗАКОН

Ещё в первой своей книге «Космографическая тайна», написанной им в 1596 г., Кеплер пытался найти математические законы геометрии Солнечной системы. Геометрия знает только пять правильных многогранников, а планет известно было шесть. Это навело Кеплера на мысль, что именно многогранники должны определять размеры пяти промежутков между орбитами планет. И ему удалось найти такое чередование вписанных и описанных фигур, которое приблизительно соответствовало действительным космическим расстояниям. Он вписал в сферу орбиты Сатурна куб, в орбиту Юпитера — тетраэдр (четырёхгранник), в орбиту Марса — додекаэдр (12-гранник), в орбиту Земли — икосаэдр (20-гран-ник), в орбиту Венеры — октаэдр (восьмигранник). При этом сфера каждой планеты касалась и вписанной в неё фигуры и фигуры, вписанной в сферу предыдущей планеты.
Кеплер подытожил свои размышления о числовых и геометрических соотношениях, господствующих в мире, в книге «Гармония Мира», вышедшей в 1619 г. Она дала астрономии третий закон Кеплера. В этой книге автор, говоря о соотношениях между периодами обращения планет и размерами их орбит, писал: «Здесь предстоит довершить и ввести сюда некоторую часть моей «Космографической тайны», оставленную нерешённой 22 года тому назад…». Решение стало возможным, после того как учёный, опираясь на законы, открытые при анализе движений Марса, вычислил размеры орбит остальных планет.
Мысль о решении пришла Кеплеру неожиданно: «…она зародилась в моём уме 8-го марта этого 1618 г., но была неудачно подсчитана и потому отброшена, как ложная; но, когда я 15 мая возвратился к ней, принявшись с новым увлечением, она наконец победила слепоту моего ума; это было столь великой наградой и моей семнадцатилетней работы над наблюдениями Браге, и направленного согласно с нею размышления, что я сперва готов был думать, будто сплю и предвосхищаю искомое среди данных. Но в высшей степени верно и точно, что отношение между периодами обращений каких-нибудь двух планет как раз равняется отношению полуторной степени их расстояний, то есть радиусов орбит…».
Сейчас этот закон формулируется следующим образом: «Квадраты звёздных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит».
Все три закона Кеплера приложимы к спутникам планет — и естественным, и искусственным.
Очевидно, Кеплер, только нащупывавший законы динамики, не мог понять суть обнаруженной закономерности, которая казалась ему таинственной. Лишь в 1687 г. в своих «Математических началах натуральной философии» Исаак Ньютон сформулировал аксиомы динамики и закон всемирного тяготения. Законы Кеплера стало возможным рассматривать как частный случай более общих принципов. Однако исторически именно они явились основой и экспериментальным подтверждением новой небесной механики.
Судьба Кеплера трагична. Его преследовали в католической стране как протестанта, семейная жизнь сложилась неудачно, он редко вылезал из бедности, дети умирали один за другим. Мать Кеплера обвинили в колдовстве, и шесть лет он спасал её от костра. Кеплер скитался по Европе времён Тридцатилетней войны в качестве наёмного астролога при полководце Валленштейне. Умер он в чужом городе Регенсбурге на постоялом дворе 15 ноября 16 30 г. в ожидании жалования, положенного ему как Первому математику императора Священной Римской империи — жалования, которое он не получал много лет. В довершение всего война пропахала регенсбургское кладбище, где был похоронен учёный, и от могилы Кеплера не осталось и следа.
Кеплер верил, что Бог призвал его на свет для того, чтобы открыть людям тайны Вселенной, и он неотступно шёл через тернии к звёздам. Он дал людям законы движения планет, объяснил происхождение приливов, заложил научные основы теории света, освещённости, атмосферной рефракции. Кеплер первым объяснил, как работают человеческий глаз, очки, оптическая камера, телескоп. Он написал первую научно-фантастическую повесть о полёте на Луну — «Сон», объяснил форму снежинок и научил виноделов Австрии простому способу вычислять объём пузатых бочек. Для этого, правда, пришлось сделать кое-какие открытия в области высшей математики.
Гармония мира — это и есть смысл жизни Иоганна Кеплера. Он нёс свой крест — думал и вычислял, а тяготы жизни… Их как бы и не было…